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中2数学：複雑な式の計算（分配法則その②）
めあて
今回の学習では、次のことを理解できるようにします。
- 分配法則を使って「かっこが多い式」を整理できる
- 多項式どうしの掛け算を丁寧に展開できる
- 計算の途中で「同類項をまとめる」ことを意識できる
1. 分配法則の基本復習
分配法則のルールは次の通りです。
$$a(b+c) = ab + ac$$
これを 繰り返し使うことで、どんな式でも展開することができます。
2. 単項式 × 多項式（少し複雑）
例1
$$2x(3x^2 + 4x – 5) = 6x^3 + 8x^2 – 10x$$
例2
$$-3a^2(2a^2 – a + 4) = -6a^4 + 3a^3 – 12a^2$$
3. 多項式 × 多項式（項数が多い）
分配法則を 一方のかっこ全部に分配するイメージです。
例1
$$(x+2)(x^2+3x+1)$$
解答
$$= x(x^2+3x+1) + 2(x^2+3x+1)$$
$$= (x^3+3x^2+x) + (2x^2+6x+2)$$
$$= x^3 + 5x^2 + 7x + 2$$
例2
$$(2a+b)(a^2 – ab + b^2)$$
解答
$$= 2a(a^2 – ab + b^2) + b(a^2 – ab + b^2)$$
$$= (2a^3 – 2a^2b + 2ab^2) + (a^2b – ab^2 + b^3)$$
$$= 2a^3 – a^2b + ab^2 + b^3$$
4. 複雑な式の整理
かっこが複数あっても、まず 分配法則でかっこを外す → 同類項をまとめる の流れです。
例
$$(x+3)(x-2) – (x^2 – 4x + 5)$$
解答
$$(x+3)(x-2) = x^2 + x – 6$$
$$(x^2 + x – 6) – (x^2 – 4x + 5)$$
$$= x^2 + x – 6 – x^2 + 4x – 5$$
$$= 5x – 11$$
5. 例題にチャレンジ！
- $$(3x(2x^2 – x + 4))$$ を展開しなさい。
- $$((x+4)(x^2 – 2x + 1))$$ を展開しなさい。
- $$((2a-3)(a^2+a+1))$$ を展開しなさい。
- $$((x+1)(x^2+x+1) – (x^3+2))$$ を整理しなさい。
解答
(1) $$3x(2x^2 – x + 4) = 6x^3 – 3x^2 + 12x$$
(2) $$(x+4)(x^2 – 2x + 1) = x^3 – 2x^2 + x + 4x^2 – 8x + 4$$
$$= x^3 + 2x^2 – 7x + 4$$
(3) $$(2a-3)(a^2+a+1) = 2a^3+2a^2+2a – 3a^2 – 3a – 3$$
$$= 2a^3 – a^2 – a – 3$$
(4) $$(x+1)(x^2+x+1) – (x^3+2)$$
$$= (x^3+x^2+x + x^2+x+1) – (x^3+2)$$
$$= (x^3+2x^2+2x+1) – (x^3+2)$$
$$= 2x^2+2x-1$$
7. まとめ
- 分配法則を使えば、かっこが増えても順番に展開できる
- 多項式 × 多項式は「一方のかっこをすべての項に分配」
- 展開後は必ず 同類項をまとめる
✅ 今日の学習のポイント
複雑な式も、分配法則を何度も使えば必ず展開できる！
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